Çfarë janë fraktalet: bukuria e matematikës dhe pafundësia

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-16 16:16

Fraktalet njihen prej një shekulli, janë studiuar mirë dhe kanë aplikime të shumta në jetë. Megjithatë, ky fenomen bazohet në një ide shumë të thjeshtë: një mori formash, të pafundme në bukuri dhe shumëllojshmëri, mund të merren nga struktura relativisht të thjeshta duke përdorur vetëm dy operacione - kopjimin dhe shkallëzimin.

Çfarë kanë të përbashkët një pemë, një breg deti, një re apo enët e gjakut në dorën tonë? Në pamje të parë, mund të duket se të gjitha këto objekte nuk kanë asgjë të përbashkët. Sidoqoftë, në fakt, ekziston një veti e strukturës e natyrshme në të gjitha objektet e listuara: ato janë të ngjashme. Nga dega, si dhe nga trungu i pemës, dalin degë më të vogla, prej tyre - edhe më të vogla etj., domethënë dega është si e gjithë pema.

Sistemi i qarkullimit të gjakut është rregulluar në mënyrë të ngjashme: arteriolat largohen nga arteriet, dhe prej tyre - kapilarët më të vegjël përmes të cilëve oksigjeni hyn në organe dhe inde. Le të shohim imazhet satelitore të bregut të detit: do të shohim gjire dhe gadishuj; le t'i hedhim një sy, por nga një pamje e shpendëve: do të shohim gjire dhe pelerina; Tani le të imagjinojmë se jemi duke qëndruar në plazh dhe duke parë këmbët tona: ka gjithmonë guralecë që dalin në ujë më tej se pjesa tjetër.

Kjo do të thotë, vija bregdetare mbetet e ngjashme me veten kur zmadhohet. Matematikani amerikan (edhe pse i rritur në Francë) Benoit Mandelbrot e quajti këtë veti të objekteve fraktalitet, dhe vetë objekte të tilla - fraktale (nga latinishtja fractus - të thyera).

Çfarë është një fraktal?

Ky koncept nuk ka një përkufizim të rreptë. Prandaj, fjala "fraktal" nuk është një term matematikor. Në mënyrë tipike, një fraktal është një figurë gjeometrike që plotëson një ose më shumë nga vetitë e mëposhtme: • Ka një strukturë komplekse në çdo zmadhim (në krahasim me, për shembull, një vijë të drejtë, çdo pjesë e së cilës është figura më e thjeshtë gjeometrike - a segmenti i linjës). • Është (përafërsisht) i ngjashëm me veten. • Ka dimension fraksional Hausdorff (fraktal), i cili është më i madh se ai topologjik. • Mund të ndërtohet me procedura rekursive.

Gjeometria dhe Algjebra

Studimi i fraktaleve në kapërcyellin e shekujve 19 dhe 20 ishte më tepër episodik sesa sistematik, sepse matematikanët e mëparshëm kryesisht studionin objekte "të mira" që ishin të përshtatshme për kërkime duke përdorur metoda dhe teori të përgjithshme. Në 1872, matematikani gjerman Karl Weierstrass ndërton një shembull të një funksioni të vazhdueshëm që nuk është askund i diferencueshëm. Megjithatë, ndërtimi i saj ishte krejtësisht abstrakt dhe i vështirë për t'u perceptuar.

Prandaj, në vitin 1904, suedezi Helge von Koch shpiku një kurbë të vazhdueshme, e cila nuk ka tangjente askund dhe është mjaft e thjeshtë për t'u vizatuar. Doli se ka vetitë e një fraktali. Një nga variantet e kësaj kurbë quhet "flokë dëbore Koch".

Idetë e vetë-ngjashmërisë së figurave u morën nga francezi Paul Pierre Levy, mentori i ardhshëm i Benoit Mandelbrot. Në vitin 1938, ai botoi artikullin e tij "Kurbat dhe sipërfaqet plane dhe hapësinore, të përbëra nga pjesë të ngjashme me të tërën", i cili përshkruan një fraktal tjetër - kurbë Lévy C. Të gjitha këto fraktale të mësipërme mund t'i atribuohen kushtimisht një klase fraktalesh konstruktive (gjeometrike).

Një klasë tjetër janë fraktale dinamike (algjebrike), të cilat përfshijnë grupin Mandelbrot. Studimet e para në këtë drejtim nisën në fillim të shekullit të 20-të dhe lidhen me emrat e matematikanëve francezë Gaston Julia dhe Pierre Fatou. Më 1918, u botua kujtimet e Julia-s pothuajse dyqind faqe, kushtuar përsëritjeve të funksioneve komplekse racionale, në të cilat u përshkruan grupet e Julia - një familje e tërë fraktalesh të lidhura ngushtë me grupin Mandelbrot. Kjo vepër u vlerësua me çmimin e Akademisë Franceze, por ajo nuk përmbante asnjë ilustrim të vetëm, kështu që ishte e pamundur të vlerësohej bukuria e objekteve të zbuluara.

Përkundër faktit se kjo vepër lavdëroi Julia midis matematikanëve të kohës, ajo u harrua shpejt. Vetëm gjysmë shekulli më vonë kompjuterët erdhën sërish në vëmendje: ishin ata që e bënë të dukshme pasurinë dhe bukurinë e botës së fraktaleve.

Dimensionet fraktale

Siç e dini, dimensioni (numri i matjeve) i një figure gjeometrike është numri i koordinatave të nevojshme për të përcaktuar pozicionin e një pike që shtrihet në këtë figurë.

Për shembull, pozicioni i një pike në një kurbë përcaktohet nga një koordinatë, në një sipërfaqe (jo domosdoshmërisht një plan) nga dy koordinata, në hapësirën tredimensionale nga tre koordinata.

Nga një këndvështrim matematikor më i përgjithshëm, ju mund ta përcaktoni dimensionin në këtë mënyrë: një rritje në dimensionet lineare, të themi, dy herë, për objektet (nga pikëpamja topologjike) njëdimensionale (nga pikëpamja topologjike) çon në një rritje në madhësi. (gjatësia) dy herë, për dydimensionale (katrore) e njëjta rritje në dimensionet lineare çon në një rritje të madhësisë (sipërfaqes) me 4 herë, për tredimensionale (kub) - me 8 herë. Kjo do të thotë, dimensioni "real" (i ashtuquajturi Hausdorff) mund të llogaritet si raport i logaritmit të një rritjeje në "madhësinë" e një objekti me logaritmin e një rritje në madhësinë e tij lineare. Kjo do të thotë, për segmentin D = log (2) / log (2) = 1, për rrafshin D = log (4) / log (2) = 2, për vëllimin D = log (8) / log (2) = 3.

Tani le të llogarisim dimensionin e kurbës Koch, për ndërtimin e së cilës segmenti njësi ndahet në tre pjesë të barabarta dhe intervali i mesit zëvendësohet me një trekëndësh barabrinjës pa këtë segment. Me një rritje të dimensioneve lineare të segmentit minimal tre herë, gjatësia e kurbës Koch rritet në log (4) / log (3) ~ 1, 26. Kjo do të thotë, dimensioni i kurbës Koch është i pjesshëm!

Shkenca dhe arti

Në vitin 1982 u botua libri i Mandelbrot "The Fractal Geometria of Nature", në të cilin autori mblodhi dhe sistemoi pothuajse të gjithë informacionin e disponueshëm në atë kohë rreth fraktaleve dhe e prezantoi atë në një mënyrë të lehtë dhe të arritshme. Në prezantimin e tij, Mandelbrot e vuri theksin kryesor jo në formula të rënda dhe ndërtime matematikore, por në intuitën gjeometrike të lexuesve. Falë ilustrimeve të krijuara me kompjuter dhe tregimeve historike, me të cilat autori holloi me mjeshtëri përbërësin shkencor të monografisë, libri u bë bestseller dhe fraktalet u bënë të njohura për publikun e gjerë.

Suksesi i tyre mes jomatematicienëve është kryesisht për shkak të faktit se me ndihmën e konstruksioneve dhe formulave shumë të thjeshta që një gjimnazist mund të kuptojë, fitohen imazhe me kompleksitet dhe bukuri të mahnitshme. Kur kompjuterët personalë u bënë mjaft të fuqishëm, madje u shfaq një prirje e tërë në art - piktura fraktal, dhe pothuajse çdo pronar kompjuteri mund ta bënte atë. Tani në internet mund të gjeni lehtësisht shumë faqe të dedikuara për këtë temë.

Luftë dhe paqe

Siç u përmend më lart, një nga objektet natyrore me veti fraktale është vija bregdetare. Një histori interesante lidhet me të, ose më saktë, me një përpjekje për të matur gjatësinë e saj, e cila formoi bazën e artikullit shkencor të Mandelbrot, dhe gjithashtu përshkruhet në librin e tij "Gjeometria Fraktal e Natyrës".

Ky është një eksperiment që u organizua nga Lewis Richardson, një matematikan, fizikan dhe meteorolog shumë i talentuar dhe i çuditshëm. Një nga drejtimet e kërkimit të tij ishte një përpjekje për të gjetur një përshkrim matematikor të shkaqeve dhe gjasave të një konflikti të armatosur midis dy vendeve. Ndër parametrat që ai mori parasysh ishte gjatësia e kufirit të përbashkët të dy vendeve ndërluftuese. Kur mblodhi të dhëna për eksperimente numerike, ai zbuloi se në burime të ndryshme të dhënat për kufirin e përbashkët midis Spanjës dhe Portugalisë janë shumë të ndryshme.

Kjo e shtyu atë të zbulonte sa vijon: gjatësia e kufijve të një vendi varet nga sundimtari me të cilin i masim. Sa më e vogël të jetë shkalla, aq më i gjatë është kufiri. Kjo për faktin se me një zmadhim më të madh bëhet e mundur të merren parasysh gjithnjë e më shumë kthesa bregdetare, të cilat më parë ishin injoruar për shkak të vrazhdësisë së matjeve. Dhe nëse, me çdo rritje të shkallës, kthesat e linjave të pa llogaritura më parë do të hapen, atëherë rezulton se gjatësia e kufijve është e pafundme! Vërtetë, në realitet kjo nuk ndodh - saktësia e matjeve tona ka një kufi të fundëm. Ky paradoks quhet efekti Richardson.

Fraktale konstruktive (gjeometrike)

Algoritmi për ndërtimin e një fraktali konstruktiv në rastin e përgjithshëm është si më poshtë. Para së gjithash, na duhen dy forma gjeometrike të përshtatshme, le t'i quajmë një bazë dhe një fragment. Në fazën e parë, përshkruhet baza e fraktalit të ardhshëm. Pastaj disa nga pjesët e tij zëvendësohen me një fragment të marrë në një shkallë të përshtatshme - ky është përsëritja e parë e ndërtimit. Më pas, figura që rezulton i ndryshon disa pjesë në figura të ngjashme me një fragment, e kështu me radhë. Nëse e vazhdojmë këtë proces pafundësisht, atëherë në kufi fitojmë një fraktal.

Le të shqyrtojmë këtë proces duke përdorur kurbën Koch si shembull. Si bazë për kurbën Koch, mund të merrni çdo kurbë (për "flokë dëbore Koch" është një trekëndësh). Por ne do të kufizohemi në rastin më të thjeshtë - një segment. Një fragment është një vijë e thyer e treguar në krye në figurë. Pas përsëritjes së parë të algoritmit, në këtë rast, segmenti fillestar do të përkojë me fragmentin, pastaj secili segment përbërës i tij do të zëvendësohet nga një vijë e thyer, e ngjashme me një fragment, etj. Figura tregon katër hapat e parë të këtë proces.

Në gjuhën e matematikës: fraktale dinamike (algjebrike)

Fraktalet e këtij lloji lindin në studimin e sistemeve dinamike jolineare (prandaj emri). Sjellja e një sistemi të tillë mund të përshkruhet nga një funksion kompleks jolinear (polinom) f (z). Merrni një pikë fillestare z0 në planin kompleks (shih shiritin anësor). Tani merrni parasysh një sekuencë të tillë të pafundme numrash në planin kompleks, secila prej të cilave vijon është marrë nga ai i mëparshmi: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1), … zn + 1 = f (zn).

Në varësi të pikës fillestare z0, një sekuencë e tillë mund të sillet ndryshe: priren në pafundësi si n -> ∞; konvergojnë në një pikë fundore; merr në mënyrë ciklike një numër vlerash fikse; opsione më komplekse janë gjithashtu të mundshme.

Numrat kompleks

Një numër kompleks është një numër i përbërë nga dy pjesë - reale dhe imagjinare, domethënë shuma formale x + iy (këtu x dhe y janë numra realë). unë jam i ashtuquajturi. njësi imagjinare, pra një numër që plotëson ekuacionin i ^ 2 = -1. Veprimet themelore matematikore përcaktohen mbi numrat kompleks - mbledhje, shumëzim, pjesëtim, zbritje (vetëm operacioni i krahasimit nuk është i përcaktuar). Për të shfaqur numrat kompleks, shpesh përdoret një paraqitje gjeometrike - në aeroplan (quhet kompleks), pjesa reale vendoset në abshisë, dhe pjesa imagjinare në ordinate, ndërsa numri kompleks do të korrespondojë me një pikë me karteziane. koordinatat x dhe y.

Kështu, çdo pikë z e planit kompleks ka karakterin e vet të sjelljes gjatë përsëritjeve të funksionit f (z), dhe i gjithë rrafshi ndahet në pjesë. Në këtë rast, pikat që shtrihen në kufijtë e këtyre pjesëve kanë vetinë e mëposhtme: për një zhvendosje arbitrare të vogël, natyra e sjelljes së tyre ndryshon ndjeshëm (pika të tilla quhen pika bifurkimi). Pra, rezulton se grupet e pikave me një lloj sjelljeje specifike, si dhe grupet e pikave të bifurkacionit, shpesh kanë veti fraktale. Këto janë grupet Julia për funksionin f (z).

Familje dragonjsh

Duke ndryshuar bazën dhe fragmentin, mund të merrni një larmi të mahnitshme fraktalesh konstruktive.

Për më tepër, operacione të ngjashme mund të kryhen në hapësirën tre-dimensionale. Shembuj të fraktaleve vëllimore janë sfungjeri i Mengerit, piramida Sierpinski dhe të tjera.

Familja e dragoit quhet edhe fraktale konstruktive. Ndonjëherë ata quhen me emrin e zbuluesve "dragonjtë e autostradës-Harter" (në formën e tyre ngjajnë me dragonjtë kinezë). Ka disa mënyra për të vizatuar këtë kurbë. Më e thjeshta dhe më intuitive prej tyre është kjo: duhet të merrni një rrip letre mjaft të gjatë (sa më e hollë të jetë letra, aq më mirë) dhe ta palosni në gjysmë. Pastaj përkuleni përsëri dy herë në të njëjtin drejtim si herën e parë.

Pas disa përsëritjeve (zakonisht pas pesë ose gjashtë palosjeve, shiriti bëhet shumë i trashë për t'u përkulur mirë më tej), duhet ta zhbëni shiritin mbrapa dhe të përpiqeni të formoni kënde 90˚ në palosjet. Atëherë kurba e dragoit do të dalë në profil. Sigurisht, kjo do të jetë vetëm një përafrim, si të gjitha përpjekjet tona për të përshkruar objekte fraktale. Kompjuteri ju lejon të përshkruani shumë hapa të tjerë në këtë proces, dhe rezultati është një figurë shumë e bukur.

Kompleti Mandelbrot është ndërtuar në një mënyrë paksa të ndryshme. Konsideroni funksionin fc (z) = z ^ 2 + c, ku c është një numër kompleks. Le të ndërtojmë një sekuencë të këtij funksioni me z0 = 0, në varësi të parametrit c, ai mund të devijojë deri në pafundësi ose të mbetet i kufizuar. Për më tepër, të gjitha vlerat e c për të cilat kufizohet kjo sekuencë formojnë grupin Mandelbrot. Ai u studiua në detaje nga vetë Mandelbrot dhe matematikanë të tjerë, të cilët zbuluan shumë veti interesante të këtij grupi.

Shihet se përkufizimet e grupeve Julia dhe Mandelbrot janë të ngjashme me njëri-tjetrin. Në fakt, këto dy grupe janë të lidhura ngushtë. Gjegjësisht, grupi Mandelbrot janë të gjitha vlerat e parametrit kompleks c për të cilin është lidhur grupi Julia fc (z) (një grup quhet i lidhur nëse nuk mund të ndahet në dy pjesë të shkëputura, me disa kushte shtesë).

Fraktalet dhe jeta

Sot, teoria e fraktaleve përdoret gjerësisht në fusha të ndryshme të veprimtarisë njerëzore. Përveç një objekti thjesht shkencor për kërkime dhe pikturës fraktal të përmendur tashmë, fraktalet përdoren në teorinë e informacionit për të kompresuar të dhënat grafike (këtu kryesisht përdoret vetia e vetëngjashmërisë së fraktaleve - në fund të fundit, për të kujtuar një fragment të vogël të një vizatim dhe transformime me të cilat mund të merrni pjesën tjetër të pjesëve, kërkohet shumë më pak memorie sesa për të ruajtur të gjithë skedarin).

Duke shtuar shqetësime të rastësishme në formulat që përcaktojnë fraktalin, mund të përftohen fraktale stokastike që në mënyrë shumë të besueshme përcjellin disa objekte reale - elemente relievi, sipërfaqen e trupave ujorë, disa bimë, të cilat përdoren me sukses në fizikë, gjeografi dhe grafikë kompjuterike për të arritur më shumë. ngjashmëria e objekteve të simuluara me reale. Në elektronikë prodhohen antena që kanë një formë fraktale. Duke zënë pak hapësirë, ato sigurojnë marrjen e sinjalit mjaft cilësor.

Ekonomistët përdorin fraktale për të përshkruar kurbat e kursit të monedhës (një veti e zbuluar nga Mandelbrot). Kjo përfundon këtë ekskursion të vogël në botën jashtëzakonisht të bukur dhe të larmishme të fraktaleve.