Forma e sheshtë, sferike apo hiperbolike e Universit tonë?

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-16 16:16

Sipas mendimit tonë, universi është i pafund. Sot e dimë se Toka ka formën e një sfere, por rrallë mendojmë për formën e Universit. Në gjeometri, ka shumë forma tre-dimensionale si një alternativë ndaj hapësirës së pafundme "të njohur". Autorët shpjegojnë ndryshimin në formën më të arritshme.

Duke parë qiellin e natës, duket se hapësira vazhdon përgjithmonë në të gjitha drejtimet. Kështu e imagjinojmë Universin - por jo faktin që është e vërtetë. Në fund të fundit, ishte një kohë kur të gjithë mendonin se Toka ishte e sheshtë: lakimi i sipërfaqes së tokës është i padukshëm dhe ideja se Toka është e rrumbullakët dukej e pakuptueshme.

Sot ne e dimë se Toka është në formën e një sfere. Por ne rrallë mendojmë për formën e universit. Ndërsa sfera zëvendësoi tokën e sheshtë, forma të tjera tredimensionale ofrojnë alternativa ndaj hapësirës së pafundme "të njohur".

Për formën e universit mund të bëhen dy pyetje – të veçanta, por të ndërlidhura. Njëra ka të bëjë me gjeometrinë - llogaritjet e përpikta të këndeve dhe zonave. Një tjetër ka të bëjë me topologjinë: si pjesë të veçanta bashkohen në një formë të vetme.

Të dhënat kozmologjike sugjerojnë se pjesa e dukshme e Universit është e lëmuar dhe homogjene. Struktura lokale e hapësirës duket pothuajse e njëjtë në çdo pikë dhe në çdo drejtim. Vetëm tre forma gjeometrike korrespondojnë me këto karakteristika - të sheshta, sferike dhe hiperbolike. Le të hedhim një vështrim në këto forma me radhë, disa konsiderata topologjike dhe përfundime të bazuara në të dhënat kozmologjike.

Univers i sheshtë

Në fakt, kjo është gjeometria e shkollës. Këndet e një trekëndëshi shtohen deri në 180 gradë, dhe sipërfaqja e një rrethi është πr2. Shembulli më i thjeshtë i një forme të sheshtë tre-dimensionale është një hapësirë e zakonshme e pafundme, matematikanët e quajnë atë Euklidiane, por ka mundësi të tjera të sheshta.

Nuk është e lehtë të imagjinojmë këto forma, por ne mund ta lidhim intuitën tonë duke menduar në dy dimensione në vend të tre. Përveç rrafshit të zakonshëm Euklidian, ne mund të krijojmë forma të tjera të sheshta duke prerë një pjesë të rrafshit dhe duke ngjitur skajet e tij. Le të themi se kemi prerë një copë letre drejtkëndëshe dhe ngjitim me shirit skajet e kundërta të saj. Nëse ngjitni skajin e sipërm në skajin e poshtëm, ju merrni një cilindër.

Ju gjithashtu mund të ngjitni skajin e djathtë në të majtë - atëherë marrim një donut (matematicienët e quajnë këtë formë një torus).

Ju ndoshta do të kundërshtoni: "Diçka nuk është shumë e sheshtë". Dhe do të keni të drejtë. Ne po mashtronim pak për torusin e sheshtë. Nëse vërtet përpiqeni të bëni një torus nga një copë letër në këtë mënyrë, do të hasni në disa vështirësi. Është e lehtë të bësh një cilindër, por nuk do të funksionojë për të ngjitur skajet e tij: letra do të thërrmohet përgjatë rrethit të brendshëm të torusit, por nuk do të jetë e mjaftueshme për rrethin e jashtëm. Kështu që ju duhet të merrni një lloj materiali elastik. Por shtrirja ndryshon gjatësinë dhe këndet, dhe rrjedhimisht të gjithë gjeometrinë.

Është e pamundur të ndërtohet një torus fizik i vërtetë i lëmuar nga një material i sheshtë brenda një hapësire të zakonshme tredimensionale pa shtrembëruar gjeometrinë. Mbetet për të spekuluar në mënyrë abstrakte se si është të jetosh brenda një torusi të sheshtë.

Imagjinoni që ju jeni një qenie dydimensionale, universi i të cilit është një torus i sheshtë. Meqenëse forma e këtij universi bazohet në një fletë të sheshtë letre, të gjitha faktet gjeometrike që jemi mësuar të mbeten të njëjta - të paktën në një shkallë të kufizuar: këndet e një trekëndëshi mblidhen deri në 180 gradë, e kështu me radhë. Por me ndryshimin në topologjinë globale përmes prerjes dhe ngjitjes, jeta do të ndryshojë në mënyrë dramatike.

Si fillim, torusi ka vija të drejta që lidhen dhe kthehen në pikën e fillimit.

Në një torus të shtrembëruar, ato duken të lakuar, por për banorët e një torus të sheshtë, ato duken të drejta. Dhe meqenëse drita udhëton në një vijë të drejtë, atëherë nëse shikoni drejtpërdrejt në çdo drejtim, do ta shihni veten nga pas.

Është sikur, në letrën origjinale, drita kaloi nëpër ju, shkoi në skajin e majtë dhe më pas u rishfaq në të djathtë, si në një lojë video.

Ja një mënyrë tjetër për të menduar për këtë: ju (ose një rreze drite) kaloni një nga katër skajet dhe gjeni veten në një dhomë të re, por në fakt është e njëjta dhomë, vetëm nga një këndvështrim tjetër. Duke u endur nëpër një univers të tillë, do të hasni në një numër të pafund kopjesh të dhomës origjinale.

Kjo do të thotë që ju do të merrni një numër të pafund kopjesh të vetes kudo që të shikoni. Ky është një lloj efekti pasqyre, vetëm se këto kopje nuk janë saktësisht reflektime.

Në torus, secila prej tyre korrespondon me një ose një lak tjetër, përgjatë të cilit drita kthehet përsëri tek ju.

Në të njëjtën mënyrë, marrim një torus të sheshtë tre-dimensional duke ngjitur faqet e kundërta të një kubi ose kuti tjetër. Ne nuk do të jemi në gjendje ta përshkruajmë këtë hapësirë brenda një hapësire të zakonshme të pafundme - thjesht nuk do të përshtatet - por do të jemi në gjendje të spekulojmë në mënyrë abstrakte për jetën brenda saj.

Nëse jeta në një torus dydimensionale është si një grup dydimensional i pafund dhomash identike drejtkëndëshe, atëherë jeta në një torus tredimensionale është si një grup i pafund tredimensionale dhomash kubike identike. Ju gjithashtu do të shihni një numër të pafund të kopjeve tuajat.

Torusi tredimensional është vetëm një nga dhjetë variantet e botës së fundme të sheshtë. Ekzistojnë gjithashtu botë të pafundme të sheshta - për shembull, një analog tredimensional i një cilindri të pafund. Secila prej këtyre botëve do të ketë "dhomën e saj të të qeshurit" me "reflektime".

A mund të jetë universi ynë një nga format e sheshta?

Kur shikojmë në hapësirë, nuk shohim një numër të pafund të kopjeve tona. Pavarësisht, eliminimi i formave të sheshta nuk është i lehtë. Së pari, të gjithë kanë të njëjtën gjeometri lokale si hapësira Euklidiane, kështu që nuk do të jetë e mundur të dallohen ato me matje lokale.

Le të themi se keni parë edhe kopjen tuaj, ky imazh i largët tregon vetëm se si ju (ose galaktika juaj në tërësi) dukeshit në të kaluarën e largët, pasi drita ka bërë një rrugë të gjatë derisa ka arritur tek ju. Ndoshta ne shohim edhe kopjet tona - por të ndryshuara përtej njohjes. Për më tepër, kopje të ndryshme janë në distanca të ndryshme nga ju, kështu që ato nuk janë të njëjta. Dhe përveç kësaj, aq larg sa ende nuk do të shohim asgjë.

Për të kapërcyer këto vështirësi, astronomët zakonisht nuk kërkojnë kopje të tyre, por për përsëritje të veçorive në fenomenin më të largët të dukshëm - rrezatimin kozmik të sfondit të mikrovalës, kjo është një relike e Big Bengut. Në praktikë, kjo do të thotë të kërkoni çifte rrathësh me modele të përputhshme të pikave të nxehta dhe të ftohta - supozohet se ato janë të njëjta, vetëm nga anët e ndryshme.

Astronomët kryen pikërisht një kërkim të tillë në vitin 2015 falë Teleskopit Hapësinor Planck. Ata bashkuan të dhëna për llojet e rrathëve të rastësishëm që ne presim të shohim brenda një torusi të sheshtë 3D ose formë tjetër të sheshtë 3D - një e ashtuquajtur pllakë - por ata nuk gjetën asgjë. Kjo do të thotë se nëse jetojmë në një torus, atëherë ai duket të jetë aq i madh sa që çdo fragment i përsëritur shtrihet jashtë universit të vëzhgueshëm.

Forma sferike

Ne jemi shumë të njohur me sferat dydimensionale - kjo është sipërfaqja e një topi, një portokalli ose e Tokës. Por, çka nëse universi ynë është një sferë tredimensionale?

Vizatimi i një sfere tredimensionale është i vështirë, por është e lehtë të përshkruhet me një analogji të thjeshtë. Nëse një sferë dy-dimensionale është një koleksion i të gjitha pikave në një distancë fikse nga një pikë qendrore në hapësirën e zakonshme tre-dimensionale, një sferë tredimensionale (ose "trisferë") është një koleksion i të gjitha pikave në një distancë fikse nga disa pika qendrore në hapësirën katërdimensionale.

Jeta brenda një trisfere është shumë e ndryshme nga jeta në hapësirë të sheshtë. Për ta vizualizuar atë, imagjinoni se jeni një qenie dydimensionale në një sferë dydimensionale. Sfera dydimensionale është i gjithë Universi, prandaj ju nuk mund ta shihni hapësirën tredimensionale që ju rrethon dhe nuk mund të futeni në të. Në këtë univers sferik, drita udhëton në rrugën më të shkurtër: në rrathë të mëdhenj. Por këto rrathë ju duken drejtpërdrejt.

Tani imagjinoni që ju dhe shoku juaj 2D po rrini në Polin e Veriut dhe ai doli për një shëtitje. Duke u larguar, në fillim do të ulet gradualisht në rrethin tuaj vizual - si në botën e zakonshme, megjithëse jo aq shpejt sa jemi mësuar. Kjo është për shkak se ndërsa rrethi juaj vizual rritet, shoku juaj merr gjithnjë e më pak prej tij.

Por sapo shoku juaj kalon ekuatorin, ndodh diçka e çuditshme: ai fillon të rritet në madhësi, megjithëse në fakt ai vazhdon të largohet. Kjo sepse përqindja që ata zënë në rrethin tuaj vizual po rritet.

Tre metra larg Polit të Jugut, shoku juaj do të duket sikur po qëndron tre metra larg jush.

Pasi të keni arritur në Polin e Jugut, ai do të mbushë plotësisht të gjithë horizontin tuaj të dukshëm.

Dhe kur nuk ka njeri në Polin e Jugut, horizonti juaj vizual do të jetë edhe më i huaj - jeni ju. Kjo është për shkak se drita që lëshoni do të përhapet në të gjithë sferën derisa të kthehet.

Kjo ndikon drejtpërdrejt në jetën në fushën 3D. Çdo pikë e trisferës ka një të kundërt, dhe nëse ka një objekt atje, ne do ta shohim atë në të gjithë qiellin. Nëse nuk ka asgjë atje, ne do ta shohim veten në sfond - sikur pamja jonë të ishte mbivendosur në një tullumbace, pastaj u kthye nga brenda dhe u fry në të gjithë horizontin.

Por edhe pse trisfera është modeli themelor për gjeometrinë sferike, ajo është larg nga e vetmja hapësirë e mundshme. Siç ndërtuam modele të ndryshme të sheshta duke prerë dhe ngjitur pjesë të hapësirës Euklidiane, kështu mund të ndërtojmë ato sferike duke ngjitur pjesë të përshtatshme të trisferës. Secila prej këtyre formave të ngjitura, si torus, do të ketë efektin e një "dhome të qeshurit", vetëm numri i dhomave në forma sferike do të jetë i kufizuar.

Po sikur universi ynë të jetë sferik?

Edhe më narcisistët prej nesh nuk e shohin veten si sfond në vend të qiellit të natës. Por, si në rastin e një torusi të sheshtë, fakti që nuk shohim diçka nuk do të thotë aspak se nuk ekziston. Kufijtë e një universi sferik mund të jenë më të mëdhenj se kufijtë e botës së dukshme, dhe sfondi thjesht nuk është i dukshëm.

Por ndryshe nga një torus, një univers sferik mund të zbulohet duke përdorur matjet lokale. Format sferike ndryshojnë nga hapësira e pafund Euklidiane jo vetëm në topologjinë globale, por edhe në gjeometrinë e vogël. Për shembull, meqenëse vijat e drejta në gjeometrinë sferike janë rrathë të mëdhenj, trekëndëshat atje janë "të shëndoshë" se ato Euklidiane dhe shuma e këndeve të tyre i kalon 180 gradë.

Në thelb, matja e trekëndëshave kozmikë është mënyra kryesore për të kontrolluar se sa i lakuar është universi. Për çdo pikë të nxehtë ose të ftohtë në sfondin kozmik të mikrovalës, diametri dhe distanca e tij nga Toka, duke formuar tre anët e trekëndëshit, janë të njohura. Ne mund të matim këndin e formuar nga pika në qiellin e natës - dhe ky do të jetë një nga qoshet e trekëndëshit. Më pas mund të kontrollojmë nëse kombinimi i gjatësive të brinjëve dhe shuma e këndeve korrespondon me gjeometrinë planare, sferike ose hiperbolike (ku shuma e këndeve të trekëndëshit është më e vogël se 180 gradë).

Shumica e këtyre llogaritjeve, së bashku me matjet e tjera të lakimit, supozojnë se universi është ose plotësisht i sheshtë ose shumë afër tij. Një ekip kërkimor sugjeroi së fundmi se disa nga të dhënat e vitit 2018 nga Teleskopi Hapësinor Planck flasin më shumë në favor të një universi sferik, megjithëse studiues të tjerë argumentuan se provat e paraqitura mund t'i atribuohen gabimit statistikor.

Gjeometria hiperbolike

Ndryshe nga një sferë, e cila mbyllet në vetvete, gjeometria hiperbolike ose hapësira me lakim negativ hapet nga jashtë. Kjo është gjeometria e kapelës me buzë të gjerë, gumë koralore dhe shalës. Modeli bazë i gjeometrisë hiperbolike është hapësira e pafundme, ashtu si Euklidiane e sheshtë. Por meqenëse një formë hiperbolike zgjerohet nga jashtë shumë më shpejt se ajo e sheshtë, nuk ka asnjë mënyrë për të përshtatur qoftë edhe një plan hiperbolik dydimensional brenda hapësirës së zakonshme Euklidiane, nëse nuk duam të shtrembërojmë gjeometrinë e saj. Por ekziston një imazh i shtrembëruar i planit hiperbolik të njohur si disku Poincaré.

Nga këndvështrimi ynë, trekëndëshat pranë rrethit kufitar duken të jenë shumë më të vegjël se ata afër qendrës, por nga pikëpamja e gjeometrisë hiperbolike, të gjithë trekëndëshat janë të njëjtë. Nëse do të përpiqeshim t'i portretizonim këta trekëndësha me të njëjtën madhësi - ndoshta duke përdorur material elastik dhe duke fryrë çdo trekëndësh me radhë, duke lëvizur nga qendra jashtë - disku ynë do t'i ngjante një kapele me buzë të gjerë dhe do të përkulej gjithnjë e më shumë. Dhe ndërsa i afrohesh kufirit, kjo lakim do të dilte jashtë kontrollit.

Në gjeometrinë e zakonshme Euklidiane, perimetri i një rrethi është drejtpërdrejt proporcional me rrezen e tij, por në gjeometrinë hiperbolike, rrethi rritet në mënyrë eksponenciale në raport me rrezen. Një grumbull trekëndëshash formohet pranë kufirit të diskut hiperbolik

Për shkak të kësaj veçorie, matematikanët duan të thonë se është e lehtë të humbasësh në hapësirën hiperbolike. Nëse miku juaj largohet nga ju në hapësirën normale Euklidiane, ai do të fillojë të largohet, por ngadalë, sepse rrethi juaj vizual nuk rritet aq shpejt. Në hapësirën hiperbolike, rrethi juaj vizual zgjerohet në mënyrë eksponenciale, kështu që shoku juaj së shpejti do të tkurret në një grimcë pafundësisht të vogël. Pra, nëse nuk e keni ndjekur rrugën e tij, nuk ka gjasa ta gjeni më vonë.

Edhe në gjeometrinë hiperbolike, shuma e këndeve të një trekëndëshi është më pak se 180 gradë - për shembull, shuma e këndeve të disa trekëndëshave nga mozaiku i diskut Poincare është vetëm 165 gradë.

Anët e tyre duken të jenë indirekte, por kjo ndodh sepse ne po shikojmë gjeometrinë hiperbolike përmes një lente deformuese. Për një banor të diskut Poincaré, këto kthesa janë në fakt vija të drejta, kështu që mënyra më e shpejtë për të shkuar nga pika A në pikën B (të dyja në skaj) është përmes një prerjeje në qendër.

Ekziston një mënyrë e natyrshme për të bërë një analog tredimensional të diskut Poincare - merrni një top tredimensional dhe mbusheni me forma tredimensionale, të cilat gradualisht zvogëlohen ndërsa i afrohen sferës kufitare, si trekëndëshat në një disk Poincare. Dhe, si me rrafshet dhe sferat, ne mund të krijojmë një mori hapësirash të tjera hiperbolike tre-dimensionale duke prerë pjesë të përshtatshme të një topi hiperbolik tredimensional dhe duke ngjitur fytyrat e tij.

Epo, a është Universi ynë hiperbolik?

Gjeometria hiperbolike, me trekëndëshat e saj të ngushtë dhe rrathët në rritje eksponenciale, nuk është aspak si hapësira përreth nesh. Në të vërtetë, siç e kemi vërejtur tashmë, shumica e matjeve kozmologjike anojnë drejt një universi të sheshtë.

Por nuk mund të përjashtojmë që jetojmë në një botë sferike ose hiperbolike, sepse fragmente të vogla të të dy botëve duken pothuajse të sheshta. Për shembull, shuma e këndeve të trekëndëshave të vegjël në gjeometrinë sferike është vetëm pak më shumë se 180 gradë, dhe në gjeometrinë hiperbolike është vetëm pak më e vogël.

Kjo është arsyeja pse të lashtët mendonin se Toka ishte e sheshtë - lakimi i Tokës nuk është i dukshëm me sy të lirë. Sa më e madhe të jetë forma sferike ose hiperbolike, aq më e rrafshët është secila pjesë e tij, prandaj, nëse Universi ynë ka një formë jashtëzakonisht të madhe sferike ose hiperbolike, pjesa e tij e dukshme është aq afër sheshtë sa lakimi i tij mund të zbulohet vetëm me instrumente jashtëzakonisht të sakta. dhe ne ende nuk i kemi shpikur ato.